Це дає опуклий багатогранник, у якому кожна грань є правильним п’ятикутником або шестикутником. Це дає V−3f5+4f62=2 з одного боку та 3V=5f5+6f6 з іншого. Разом ці рівняння дають f5=12 і V−2f6=20; іншими словами, будь-який фулерен повинен мати рівно дванадцять п'ятикутників (Теорема дванадцяти пентагонів для фулерену). 20 січня 2011 р

Дванадцять п'ятикутників і 20 шестикутників утворюють фігуру, відому математикам як усічений ікосаедр, для хіміків як молекула бакмінстерфуллерену, а для майже всіх інших як стандартний футбольний м’яч.

Це була б не куля, а додекаедр. Але коли вони додають кілька шестикутників, фігури з’єднуються, як пазл, утворюючи ідеальну сферичну форму.

Теореми типу Ейлера про кількість многокутників багатогранників. Леонард Ейлер відкрив це у XVIII столітті для багатогранників, у яких будь-яка грань є шестикутником або п'ятикутником і кожна вершина третього ступеня, має бути рівно дванадцять п'ятикутних граней. Це називається теоремою дванадцяти п'ятикутників Ейлера.

Багато популярних м’ячів мають 12 п’ятикутників, які ховаються десь у конструкції. Стандартний м'яч з 32 панелей має 12 п’ятикутників, панельний м’яч 92 має 12 п’ятикутників, панельний м’яч 232 має 12 п’ятикутників, м’яч Ліги чемпіонів насправді складається лише з 12 п’ятикутників, розширених у маленькі зірочки.

90 ребер М’яч має 60 вершин (кожна вершина з’єднує два білі шестикутники з одним білим п’ятикутником). Він має 32 грані (12 п’ятикутників і 20 шестикутників), отже, 90 країв за формулою Ейлера. З 90 ребер 60 з’єднують чорний п’ятикутник з білим шестикутником, а решта 30 ребер з’єднують два білі шестикутники.