Тепер твердження 2.1 можна перефразувати так: «Функція f : R −→ C інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли це поточкова сума а.е. абсолютно підсумовуваного ряду з Cc(R). ' дійсна та уявна частини Re f, Im f є інтегровними за Лебегом, як і їхні додатні частини, а також абсолютне значення |f|.

Тепер твердження 2.1 можна перефразувати так: «Функція f : R −→ C інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли це поточкова сума а.е. абсолютно підсумовуваного ряду з Cc(R). ' дійсна та уявна частини Re f, Im f є інтегровними за Лебегом, як і їхні додатні частини, а також абсолютне значення |f|.

f інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли |f| є інтегровною за Лебегом. По-перше, припустимо, що f є інтегровною за Лебегом, за визначенням, f є вимірною та невід’ємною, тому f=|f| і ∫Efdμ=∫E|f|dμ випливає, що |f| є інтегровною за Лебегом.

Якщо R |f|dµ є скінченним, то f називається інтегровним за Лебегом. У цьому випадку обидва інтеграли R f+ dµ та R f− dµ збігаються, і має сенс визначити Z f dµ = Z f+ dµ − Z f−dµ . міра нуль, µ(x : f1(x) 6= f2(x)) = 0, їхні інтеграли рівні, µ(f1) = µ(f2). уявну частину окремо.

Якщо f неперервна всюди в інтервалі, включаючи його кінцеві точки, які є скінченними, то f буде інтегровною. Функція є неперервною в точці x, якщо її значення, достатньо близькі до x, настільки близькі одне до одного та до її значення в точці x.

Функція 1/x на R (довільно визначений як 0) вимірний, але не інтегрований за Лебегом. Загалом, функція є інтегровною за Лебегом тоді і тільки тоді, коли і додатна, і від’ємна частини функції мають кінцевий інтеграл Лебега, що не вірно для 1/x.