Довжина дуги вздовж просторової кривої L=∫ba√(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2dt. Термін — це лише величина v(t), довжина вектора швидкості drdt. Тож ми можемо переписати дуга

формула довжини. L=∫ba√|v|dt.25 липня 2021 р

Якщо вам потрібна повна лекція, яка показує, звідки походить формула, я дам посилання на неї тут. Але я просто зараз перейду до деяких прикладів.

Теорема: Формули довжини дуги для площинних і просторових кривих s=∫ba√[f′(t)]2+[g′(t)]2+[h′(t)]2dt=∫ba‖⇀r′(t)‖dt.

Загалом, якщо ми маємо векторну функцію r(t), щоб перетворити її на векторну функцію в термінах довжини дуги, ми обчислюємо s=∫ta|r′(u)|du=f(t), розв’язуємо s=f(t) для t, отримуючи t=g(s), і підставляємо це назад у r(t), щоб отримати ˆr(s)=r(g(s)). і беремо похідну, отримуємо s′(t)=|r′(t)|.

Нехай r(t)=(x(t),y(t)) — крива на площині. Ми можемо знайти його довжину дуги за формулою ℓ=∫√x′(t)2+y′(t)2dt=∫‖r′(t)‖dt.

І зауважте, що одиниці радіани скасовуються. Отже, 5 помножити на 12 дорівнює 16. Отже, довжина дуги дорівнює 6 60 футів, ось її довжина. Давайте спробуємо інший приклад.