Визначення – комплексна диференційовність і похідна. Функція f комплексно диференційовна у внутрішній точці z A якщо похідна від f по z, визначена як межа частки різниці f′(z)=limh→0f(z+h)−f(z)h f ′ ( z ) = lim h → 0 f ( z + h ) − f ( z ) h існує в C.

Функція диференційовна в точці коли він неперервний у точці та не має «загострення». Кусп з’являється, якщо нахил функції раптово змінюється.

Достатні умови комплексної диференційовності Нехай перші часткові похідні від u і v існують у відкритому околі z0. Якщо ці частинні похідні неперервні в z0 і задовольняють рівняння Коші–Рімана в z0, то f = u + iv диференційовна в z0 у комплексному сенсі.

Якщо складна функція складається шляхом зазначення її дійсної та уявної частин u і v, як-от f (z) = x + 4iy, є хороший шанс, що воно не диференційовне. = 4. Оскільки ці два значення різні, f (z) = x + 4iy ніде не диференційовна, тобто f не диференційована в жодній точці z.

Умови диференційованості. Умова 1: Функція повинна бути неперервною в точці. Як показано на зображенні нижче. Умова 2: графік не має гострого кута в точці, як показано нижче. Умова 3: графік не має вертикальної лінії в точці.

Як довести, що функція диференційовна? Функцію можна довести диференційовною якщо його ліва межа дорівнює правій межі і похідна існує в кожній внутрішній точці області.